Problemas fase final 2006

Problema 1 da fase final galega 2006: Triángulos equiláteros

Comezando cun triángulo equilátero de lado 1, imos construíndo triángulos equiláteros de lados 2, 3...según se ve na figura.

No triángulo de lado 20, ¿cantos triánguliños de lado 1 haberá pintados de gris?. Determina o número de trianguliños de lado 1 que haberá pintados nun triángulo calquera de lado n.

Problema 2 da fase final galega 2006: ¿Área ou perímetro?

A miña tía Xusta ten unha finca de 144 metros de perímetro como a da figura da esquerda

Ten dous fillos e repártelles a finca do xeito que indica a figura da dereita, pensando que quedan os dous coa mesma superficie, cando en realidade o perito dixéralle que, se partía así, quedarían os dous con dúas superficies co mesmo perímetro: unha cadrada, e outra rectangular coa altura o triple da base, e medindo esta base a metade do lado do cadrado. Pero o fillo menor, con coñecementos de xeometría, dí que simplemente haberá que mover uns metros hacia a dereita o corte para ter dúas superficies coa mesma área. ¿Saberías dicir tí cantos metros son os que haberá que mover o corte?

Problema 3 da fase final galega 2006: Fórmula 1

No pasado campionato mundial de fórmula 1, Fernando Alonso gañou o 40% das carreiras, Kimi Raikonen gañou unha de cada 4 carreiras, e Michael Shumacher gañou a metade das carreiras que Fernando Alonso. Cada unha das carreiras restantes gañouna un piloto diferente dos anteriores. Se non houbo máis de 8 pilotos distintos que gañaron algunha carreira ¿de cantas carreiras constaba o campionato? ¿Cantos pilotos gañaron algunha carreira?

Problema 4 da fase final galega 2006: A lámpada do Centro Residencial Docente

O meu amigo Pedro, que está facendo un ciclo superior de formación profesional, ten unha praza no CRD, e tocoulle unha habitación moi bonita, con vistas á ría de Vigo. Díxome que na súa habitación hai unha lámpada que ten 8 bombillas distribuidas circularmente, e todas de cores distintas. Cando preme o interruptor as bombillas encéndense e apáganse, de xeito que en cada instante só hai tres encendidas. Ademáis sempre estan encendidas ou ben a verde ou ben a amarela, pero nunca as dúas ao mesmo tempo. ¿Cantas combinacións posibles da esta lámpada?

Os profesores de hostalería do IES Manuel Antonio fan unha base para uns pasteis en forma de rombo. Como son moi afeccionados á astronomía, deciden darlle uns cortes iguais polos catro lados do rombo (como indica a figura) de xeito que a base lle queda en forma de estrela, coa curiosidade de que se unimos os vértices ABCD obtemos un cadrado. O lado dese cadrado mide a metade da diagonal menor, e tamén mide a terceira parte da diagonal maior. Se a masa que cortan se pode aproveitar para facer novas bases,

¿Cantos rombos necesita cortar para conseguir, aproveitando os anacos cortados, unha estrela máis?