Solucións fase final 2011
|
Solución problema 1 da fase final 2011: Capicúas |
|
a) capicúas de 3 cifras: 90 capicúas de 4 cifras: 90
b) os capicúas de 5 cifras non son 90 senón 90 · 10 = 900 xa que no lugar central de cada un podemos poñer de 0 a 9 os de 6 cifras son 900 os de 7 cifras son 9000. |
|
Solución problema 2 da fase final 2011: Rectángulo e cadrado |
|
Chamamos L ao lado do cadrado. Un lado do rectángulo será un 10% maior que L, isto é, 110 L/100 O outro lado do rectángulo será un 10% menor que L, isto é, 90 L/100 A superficie do cadrado será L2 A superficie do rectángulo será (110 L/100) · (90 L/100) =99 L2/100 Se achamos a diferenza de superficies: L2 - (99 L2 /100) =(1/100)L2 Polo tanto a superficie do rectángulo representa un 99% da superficie do cadrado.
|
|
Solución problema 3 da fase final 2011: Unha vagalume viaxeira |
|
A (9,9) B(9,0) C(8,9) D(10,9) E(0,9) Unha hora e media son 90 minutos. Observamos en primeiro lugar os minutos empregados en chegar a puntos do eixe de ordenadas onde a partícula xiraría á dereita, é dicir, os puntos (0,2), (0,4),...: Para chegar ao punto (0,2) emprega 4 minutos:; para chegar ao punto (0,4) emprega 4 + 12 =16 minutos; ao (0,6), 4 + 12 + 20 =36 minutos; ao (0,8) emprega 82 =64 minutos; ao (0,9) emprega 92 =81 minutos. Unha vai z xira á dereita móvese por esa abscisa 90 - 81 =9 puntos. Polo tanto, a partícula atopará no punto(9,9)
|
|
Solución problema 4 da fase final 2011: O estanque xeado |
|
Chamemos r ao radio do balón. Representemos o balón no estanque xeado, de forma que o centro da circunferencia sexa a orixe de coordenadas. Un punto calquera da pegada deixada terá por coordenadas (10, 5 - r). Neste punto x =10; e =5 - r
A ecuación da circunferencia é: x2 + y2 = r2
Polo tanto:
102 + (5 - r)2 = r2 100 + 25 -10 r + r2 = r2 10 r = 125 r = 12,5 d = 25
|
|
Solución problema 5 da fase final 2011 : Unha familia de gatos |
|
Os casos posibles son 16: M-M-M-M, M-M-M-H, M-M-H-M, M-H-M-M, H-M-M-M, H-H-M-M, H-M-H-M, H-M-M-H, M-H-H-M, M-H-M-H, M-M-H-H, H-H-H-M, H-H-M-H, H-M-H-H, M-H-H-H, H-H-H-H O gato ten razón en que non é moi probable que os 4 gatos sexan machos: 1/16 A probabilidade de que sexan dous machos e dúas femias é 6/16. A gata está máis acertada. Pero hai outros resultados con máis probabilidade: por exemplo que sexan 1 dun sexo (macho ou femia) e 3 doutro sexo (femias ou machos) é 8/16.
|