Solucións fase final 2007
|
Solución problema 1 da fase final galega 2007: Demasiadas abellas |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Nos dous casos obtemos os términos da sucesión de Fibonacci: cada elemento é suma dos dous anteriores.
|
|
Solución problema 2 da fase final galega 2007: Vaia lío de cubos |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Debemos determinar tres cubos que sumados den un cubo
Observamos que 33 + 43 + 53 = 63 (27 + 64 + 125 = 216), polo que a torre ten 12 ladrillos de altura (3 + 4 + 5), e mide 12 x 5 = 60 cm. Outra solución sería 13 + 63 + 83 = 93 (1 + 216 + 512 = 729), polo que a torre tería 15 ladrillos de altura e mediría 15 x 5 = 75 cm. Pero neste caso o cubo da parte superior non sería unha construcción xa que é un ladrillo só.
|
|
Solución problema 3 da fase final galega 2007: A caixa forte |
|
Para o 1º número hai dúas posibilidades (8,9) Para o segundo número hai 10 posibilidades (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) Para o 3º número hai 5 posibilidades (1,3,5,7,9) Para o 4º número hai unha posibilidade (xa que ten que coincidir co 2º) Para o 5º número hai 5 posibilidades (1,3,5,7,9) Polo tanto o número de combinacións posibles son 2 x 10 x 5 x 1 x 5 = 500 combinacións.
|
|
Solución problema 4 da fase final galega 2006: Paso a paso |
|
Os dous saen do mesmo sitio (1ª marca) e as súas pisadas volven a coincidir aos m.c.m.(54,72) = 216 cm. En 216 cm hai (54 x4, 72x3) 7 pisadas, pero as dúas últimas coinciden polo que hai 6 marcas. Para chegar a 60 marcas (xa que a 61 sería a marca inicial de onde saen) 60:6 = 10 veces se repite o proceso. Así 216 x 10 = 2160 cm. |
|
Solución problema 5 da fase final galega 2006: O pin |
|
Usando o teorma de Pitágoras obtemos que a altura do trángulo mide :
Trazando as tres alturas podemos observar que o radio do circulo mide polo que a súa área mide pi/3 Podemos calcular o lado do triángulo pequeno usando o teorema de Tales
Obtemos que mide 0,5 polo que o triángulo pequeno ten de lado 1, e a súa área mide
Así pois a área do pintado de negro é
|
