cabezallo

Solucións fase final 2010

 

Solución problema 1 da fase final galega 2010: O tren

Primeiro averiguamos cantas paradas ten o tren . Se baixan 3 persoas ( 2 homes e unha muller) e soben 4 ( 4 nenos) , a cantidade de pasaxeiros aumentará en 1 en cada parada. Como 143 – 134 = 9 , detense 9 veces.

Baixarán entón 2x9 = 18 homes , 1x9 = 9 mulleres e subirán 9x4 = 36 nenos

Se lle damos á cantidade de homes que hai ao final do traxecto o valor de x , os nenos serán 1’5 . x e as mulleres 0’75 . x

Polo tanto : 0’75 x + x + 1’5 x = 143 , 3’5 x = 143 , x = 44

Ao final del traxecto haberá :

44 homes , 1’5 x 44 = 66 nenos e 0’75 x 44 = 33 mulleres

 

Polo tanto o número que había cando partiron era.

44 + 18 = 62 homes ; 33 + 9 = 42 mulleres ; 66 – 36 = 30 nenos
 

Solución problema 2 da fase final galega 2010: Pintando murais

Na segunda metade da 1ª xornada a metade dos alumnos farán a metade do traballo que o grupo enteiro, polo que do mural grande a metade dos alumnos pintarán 1/3 (por 2/3 que terían pintados o grupo completo).

Así pois, o outro medio equipo pintará 2/3 do mural pequeño en ½ xornada.

 

Logo, se 1 alumno pinta 1/3 do mural pequeño nunha xornada, farán falta 2 para píntalo en ½ xornada, polo que farán falta 4 alumnos para pintar os 2/3 do mural pequeño en ½ xornada, que son ½ equipo, polo que o equipo completo serán 8 alumnos.

 

 
 

Solución problema 3 da fase final galega 2010: Un xardín

Hai unha solución rápida se nos damos conta de que os triángulos AEB e EFB son rectángulos e isósceles (basta ver que os seus ángulos agudos son todos de 45º).

Entón EF = FB, e o mesmo ocorre na base maior.

Polo tanto a altura mide 6 + 10 = 16 m.

Logo a área do trapecio será : A = ½ ( 12 + 20 ) . 16 = 256 metros cadrados

 

·Se non vemos isto : podemos aplicar dúas veces o teorema de Pitágoras

 

primeiro ao triángulo isósceles AEB , para calcular EB = EA :

 

EB 2 + EA 2 = 144 EB 2 = 72

 

despois o aplicamos ao  triángulo EFB para calcular EF :

 

EB 2 = EF 2 + FB 2 , EF 2 = 72 – 36 = 36 , EF = 6 m

 

Da mesma forma calcula EG = 10m

 

Sumando os dous resultados : a altura será 16 m e a área 256 m2
 

Solución problema 4 da fase final galega 2010: Os caramelos

a)Os caramelos repartidos foron en total:

20 + 9 + 10 = 39

En tódalas carreiras repártese o mesmo número de caramelos, así pois o número de carreiras ten que ser divisor de 39:

{ 1, 3, 13, 39}

Analizamos os distintos casos:

Nº de carreiras

 

Caramelos

 

 

1

 

39

Non pode ser xa que Aroa gañaría a carreira e non ten a máxima puntuación

 

13

 

3

Non é posible xa que en cada carreira o primeiro, o segundo e o terceiro levarían o mesmo número de caramelos

 

39

 

1

Non pode ser xa que en cada carreira só o terceiro tería premio

A única posibilidade é que se celebrasen 3 carreiras.

 

b) En cada carreira repártense pois 13 caramelos.

c) Sabemos que o terceiro clasificado leva un caramelo e en total reparten 13. Así:

P +S = 12

Estudiando os distintos casos chegamos á conclusión que o primeiro leva 8 caramelos e o segundo 4

 
 

Solución problema 5 da fase final galega 2010: Os dous dados

 

Casos posibles 36:

(1,1)

(2,1)

(3,1)

(4,1)

(5,1)

(6,1)

(1,2)

(2,2)

(3,2)

(4,2)

(5,2)

(6,2)

(1,3)

(2,3)

(3,3)

(4,3)

(5,3)

(6,3)

(1,4)

(2,4)

(3,4)

(4,4)

(5,4)

(6,4)

(1,5)

(2,5)

(3,5)

(4,5)

(5,5)

(6,5)

(1,6)

(2,6)

(3,6)

(4,6)

(5,6)

(6,6)

 

b) Salir 6 ou 1: 20

Contrario: 16

a) Dous pares o dous impares: 18

Contrario: 18

c) Dous iguais: 6

Contrario: 30