Solucións fase final 2013

  • warning: array_map() [function.array-map]: Argument #2 should be an array in /home/agapema/www/modules/system/system.module on line 1015.
  • warning: array_keys() expects parameter 1 to be array, null given in /home/agapema/www/includes/theme.inc on line 1817.
  • warning: Invalid argument supplied for foreach() in /home/agapema/www/includes/theme.inc on line 1817.

Solución problema 1 da final 2013: A potencia de dous

Escribimos os números que son divisibles por dous e contamos cantos conteñen:

 

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

40

 

Observamos o número de dous que aparecen na descomposición factorial de cada factor:

 

1

2

1

3

1

2

1

4

1

2

1

3

1

2

1

5

1

2

1

3

 

Todos estos suman 38, entón a solución é n=38

.

 

Solución problema 2 da fase final 2013: As pesadas

Todos os sacos son distintos porque temos 10 pesadas distintas.

Cada saco está en catro pesadas distintas:

A-B,  A-C, A-D, A-E      B-C, B- D, B-E         C-D,C-E          D-E

A suma de todas as pesadas é 516. Entón os cinco sacos pesan 516:4 = 129

A+B+C+D+E =129

A+B = 46,, D+E=57 -> C=26

Así sucesivamente: A=22, B=24, C=26, D=30, E=27

 

 

Solución problema 3 da fase final 2013: Á procura de agasallo

Analizamos as posibilidades en cada caso:

a)      Número par: 1/250

b)      Múltiplo de 11: 1/45

c)       Número par emúltiplo de 11: 1/22

d)      Múltiplo de 3 e7: 1/23

Polo tanto, teñenmáis posibilidades de conseguir agasallo se optan polo terceiro criterio: Par e múltiplo de 11

 

 

Solución problema 4 da fase de zona 2013:  Os cadradiños

 

LADO

NEGRAS

BRANCAS

TOTAL

 

1

1=

0

1

 

2

1= 1x1

3= 1x3

2x2

 

3

6 = 2x3

3= 1x3

3x3

3x(2+1)

4

6 = 2x3

10 = 2x5

4x4

2x(3+5)

5

15= 3x5

10= 2x5

5x5

5x(3+2)

6

15 = 3x5

21= 3x7

6x6

3x(5+7)

7

28= 4x7

21=3x7

7x7

7x(4+3)

8

4x7

4x9

8x8

4x(7+9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

17x9

17x8

 

17x(9+8)

18

17x9

19x9

 

9x(17+19)

 

Asi pois :

Un lado par n dará  n/2 (n-1) negras,  e n/2(n+1) brancas

Un lado impar n  dará n(n+1)/2 negras, e n(n-1)/2 brancas

Se temos 1000 fichas brancas, poderá haber sobre 2000 fichas en total.

Busquemos cadrados que se aproximen a esta cifra

442= 1936

452 = 2025

462= 2116

LADO

NEGRAS

BRANCAS

TOTAL

 

 

 

 

 

 

17

17x9

17x8

 

17x(9+8)

18

17x9

19x9

 

9x(17+19)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

44

43x22

45x22= 990

 

22x(43+45)

45

45x23= 1035

45x22= 990

 

45x(23+22)

46

45x23

47x23= 1081

 

 

 

 

 

 

Solución problema 5 da fase final 2013 : A roda cadrada

 

Se debuxamos a traxectoria do punto A vemos que:

 

 

 

Polo tanto eopunto A fai media circunferencia de rádio 1 e un cuarto de circunferencia de rádio 

Atraxectoria do punto A é