Solucións fase final 2011

  • warning: array_map() [function.array-map]: Argument #2 should be an array in /home/agapema/www/modules/system/system.module on line 1015.
  • warning: array_keys() expects parameter 1 to be array, null given in /home/agapema/www/includes/theme.inc on line 1817.
  • warning: Invalid argument supplied for foreach() in /home/agapema/www/includes/theme.inc on line 1817.

 

Solución problema 1 da fase final 2011: Capicúas

a) capicúas de 3 cifras: 90

capicúas de 4 cifras: 90

 

b) os capicúas de 5 cifras non son 90 senón 90 · 10 = 900 xa que no lugar central de cada un podemos poñer de 0 a 9

os de 6 cifras son 900

os de 7 cifras son 9000.

 

Solución problema 2 da fase final 2011: Rectángulo e cadrado

  

Chamamos L ao lado do cadrado.

Un lado do rectángulo será un 10% maior que L, isto é, 110 L/100

O outro lado do rectángulo será un 10% menor que L, isto é, 90 L/100

A superficie do cadrado será L2

A superficie do rectángulo será (110 L/100) · (90 L/100) =99 L2/100

Se achamos a diferenza de superficies:

L2 - (99 L2 /100) =(1/100)L2

Polo tanto a superficie do rectángulo representa un 99% da superficie do cadrado.

 

 

Solución problema 3 da fase final 2011: Unha vagalume viaxeira

 

A (9,9) B(9,0) C(8,9) D(10,9) E(0,9)

Unha hora e media son 90 minutos. Observamos en primeiro lugar os minutos empregados en chegar a puntos do eixe de ordenadas onde a partícula xiraría á dereita, é dicir, os puntos (0,2), (0,4),...: Para chegar ao punto (0,2) emprega 4 minutos:; para chegar ao punto (0,4) emprega 4 + 12 =16 minutos; ao (0,6), 4 + 12 + 20 =36 minutos; ao (0,8) emprega 82 =64 minutos; ao (0,9) emprega 92 =81 minutos. Unha vai z xira á dereita móvese por esa abscisa 90 - 81 =9 puntos. Polo tanto, a partícula atopará no punto(9,9)

 

 

Solución problema 4 da fase final 2011:  O estanque xeado

Chamemos r ao radio do balón. Representemos o balón no estanque xeado, de forma que o centro da circunferencia sexa a orixe de coordenadas. Un punto calquera da pegada deixada terá por coordenadas (10, 5 - r). Neste

punto x =10;  e =5 - r

 

A ecuación da circunferencia é: x2 + y2 = r2

 

Polo tanto:

 

102 + (5 - r)2 = r2

100 + 25 -10 r + r2 = r2

10 r  =  125

r =  12,5

d  = 25

 

 

Solución problema 5 da fase final 2011 : Unha familia de gatos

 

Os casos posibles son 16:

M-M-M-M, M-M-M-H, M-M-H-M, M-H-M-M, H-M-M-M, H-H-M-M, H-M-H-M, H-M-M-H, M-H-H-M, M-H-M-H, M-M-H-H, H-H-H-M, H-H-M-H, H-M-H-H, M-H-H-H, H-H-H-H

O gato ten razón en que non é moi probable que os 4 gatos sexan machos: 1/16

A probabilidade de que sexan dous machos e dúas femias é 6/16. A gata está máis acertada.

Pero hai outros resultados con máis probabilidade: por exemplo que sexan 1 dun sexo (macho ou femia) e 3  doutro sexo (femias ou machos) é 8/16.