Solucións fase final 2007

  • warning: array_map() [function.array-map]: Argument #2 should be an array in /home/agapema/www/modules/system/system.module on line 1015.
  • warning: array_keys() expects parameter 1 to be array, null given in /home/agapema/www/includes/theme.inc on line 1817.
  • warning: Invalid argument supplied for foreach() in /home/agapema/www/includes/theme.inc on line 1817.

 

Solución problema 1 da fase final galega 2007: Demasiadas abellas

 

 

Xeracións

Antecesores

Antecesores Machos

1

1

0

2

2

1

3

3

1

4

5

2

5

8

3

6

13

5

7 21 8
8 34 13
9 55 34
10 89 55
11 144 89
12 233 144
 

 

Nos dous casos obtemos os términos da sucesión de Fibonacci: cada elemento é suma dos dous anteriores.

 

 

 

Solución problema 2 da fase final galega 2007: Vaia lío de cubos

 

Debemos determinar tres cubos que sumados den un cubo

Número Cubo
1 1
2 8
3 27
4 64
5 125
6 216
7 343
8 512
9 729
10 1000
11 1331
12 1728
13 2197
14 2744
15 3375

 

Observamos que 33 + 43 + 53 = 63 (27 + 64 + 125 = 216), polo que a torre ten 12 ladrillos de altura (3 + 4 + 5), e mide 12 x 5 = 60 cm.

Outra solución sería 13 + 63 + 83 = 93 (1 + 216 + 512 = 729), polo que a torre tería 15 ladrillos de altura e mediría 15 x 5 = 75 cm. Pero neste caso o cubo da parte superior non sería unha construcción xa que é un ladrillo só.

 

 

Solución problema 3 da fase final galega 2007: A caixa forte

Para o 1º número hai dúas posibilidades (8,9)

Para o segundo número hai 10 posibilidades (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

Para o 3º número hai 5 posibilidades (1,3,5,7,9)

Para o 4º número hai unha posibilidade (xa que ten que coincidir co 2º)

Para o 5º número hai 5 posibilidades (1,3,5,7,9)

Polo tanto o número de combinacións posibles son 2 x 10 x 5 x 1 x 5 = 500 combinacións.

 

 

 

Solución problema 4 da fase final galega 2006: Paso a paso

Os dous saen do mesmo sitio (1ª marca) e as súas pisadas volven a coincidir aos m.c.m.(54,72) = 216 cm.

En 216 cm hai (54 x4, 72x3) 7 pisadas, pero as dúas últimas coinciden polo que hai 6 marcas.

Para chegar a 60 marcas (xa que a 61 sería a marca inicial de onde saen) 60:6 = 10 veces se repite o proceso.

Así 216 x 10 = 2160 cm.

 

Solución problema 5 da fase final galega 2006: O pin

 

Usando o teorma de Pitágoras obtemos que a altura do trángulo mide :         

 

        

 

Trazando as tres alturas podemos observar que o radio do circulo mide       

polo que a súa área mide pi/3

Podemos calcular o lado do triángulo pequeno usando o teorema de Tales

 

           

Obtemos que mide 0,5 polo que o triángulo pequeno ten de lado 1, e a súa área mide

Así pois a área do pintado de negro é