Solucións fase de zona 2004

  • warning: array_map() [function.array-map]: Argument #2 should be an array in /home/agapema/www/modules/system/system.module on line 1015.
  • warning: array_keys() expects parameter 1 to be array, null given in /home/agapema/www/includes/theme.inc on line 1817.
  • warning: Invalid argument supplied for foreach() in /home/agapema/www/includes/theme.inc on line 1817.

 

Problema 1º da fase de zona: Xogando ás adiviñas

 

1º montón

2º montón

3º montón

4º montón

Ao empezar (a+b+c=45)

a

b

c

d

a+2=b-2=2c=d/2

a+2

b-2

2c

d/2

 

Do anterior podemos deducir varias cousas:

*b-2=a+2, polo tanto b=a+4

*2c=a+2, deducimos que c=(a+2)/2

*d/2=a+2, é dicir d=(a+2)·2.

Obtemos: a+(a+4)+(a+2)/2+(a+2)·2=45, de onde a=8 e os demáis serán b=12, c=5 e d=20.

O anterior require unha certa destreza na manipulación alxébrica, excesiva para para alumnos de 2º ESO, pero non é o único xeito de proceder. Outro sería deducir condicións que deben cumplir as cantidades de cada montón como:

*a e b teñen que ser pares (ao sacarlle 2 e sumarlle dous son iguais a un número par 2c)

*d e d/2 son pares. d é un múltiplo de 4.

*...

E logo, por tanteo, atopar unha solución que verifique as condicións.

Este tipo de problemas poden servir para amosar a "potencia" do Álxebra e da substitución de cantidades descoñecidas por letras.

 

Problema 2 da fase de zona: O peixe

Facemos un esquema do corpo, dividido en tercios:

Como a cola é igual a 1/3 do corpo máis a cabeza, e o corpo é a cola máis un tercio da cabeza, entonces os 2/3 do corpo son iguais á cabeza máis 4 cm, e dicir, son iguais a 16 cm.

Logo:

*1/3 do corpo = 8 cm

*O corpo = 24 cm

*A cola = 8 + 12 = 20 cm.

Total do peixe será:
24 + 20 + 12 = 56 cm

 

Problema 3 da fase de zona: O mellor pexego do pexegueiro

É unha suma de cadrados consecutivos:

16 + 9 +4 +1 = 30 pexegos

Problema 4 da fase de zona: A leira de repolos

Só compre ter en conta que "o cadrado dun número é igual ó cadrado do anterior, máis o dobre do anterior máis 1"

Como 93 = 46 + 46 +1 , entonces a colleita de repolos forma un cadrado de lado 47:

47·47 = 2 209 repolos

Problema 5 da fase de zona: Un lote de trapecios ... circulares

Debemos atopar un xeito de contar sistematicamente todos os trapecios.

*En cada sector hai 6 trapecios diferentes, o que daría 24 trapecios.

*Pero ademais debemos considerar os formados por dous sectores colindantes: A-B, B-C, C-D e D-A con outros 6 en cada un. Total outros 24.

*E non acaba aí a cousa. Tamén están os grupos de tres sectores colindantes:
A-B-C, B-C-D, C-D-A e D-A-B que suman 24 trapecios máis

Son pois en total 24·3=72 trapecios circulares.

Nota: en senso estricto, poderiamos incluso considerar os sectores circulares como trapecioa nos que unha das circunferencias ten radio 0 e incluso tamén as coronas circulares se entendemos que podemos admitir que as rectas sexan a mesma...