Mundo Matemático

Matrices e Pitágoras?-II

Matemáticas na Rúa - Dom, 2013-11-24 21:54

No anterior post levoume un anaco empezar a albiscar a relación das matrices coa Teoría de Números, a nivel elemental. Hoxe chegarei por fin ao obxectivo que me fixo comezar co título Matrices e Pitágoras despois de ler un artigo titulado "Modified Farey Trees and Pythagorean Triples" de Shin-Ichi Katayama (podedes atopalo nesta web). O artigo segue unha liña comezada hai 50 anos por F.J.M. Barning, quen conectou as distintas triplas pitagóricas mediante certo tipo de matrices. Pero primeiro haberá que lembrar certos conceptos:
A ecuación pitagórica, seguramente a máis coñecida das ecuacións diofánticas, xorde no estudo dos triángulos rectángulos con lonxitudes dos lados que sexan números naturais:$$\small{a^2+b^2=c^2}$$As solucións constan de tres números, polo que se chaman ternas pitagóricas. A primeira terna, que todos os alumnos teñen visto á altura de 1º de E.S.O., é a famosa $\small{(a,b,c)=(3,4,5)}$, e é a base das aplicacións para crear ángulos rectos en carpintería, por exemplo.

A corda  (3,4,5) cos seus 12 nós
Ademais a terna (3,4,5) ten unha peculiaridade, pois os tres números non posúen ningún factor primo común. A estas ternas pitagóricas coñecémolas como ternas primitivas.
É sinxelo atopar todas as ternas pitagóricas primitivas, se comparamos o procedemento coa sofisticación a onde ten chegado o estudo das ecuacións diofánticas. Vexámolo:
Se a terna (a,b,c) é primitiva, automaticamente chegamos a que o termo c ten que ser impar, e b e a de paridade oposta, é dicir, un par e o outro impar (breve explicación: se b e a fosen pares, c tamén o sería, e 2 sería un factor común; se b e a fosen impares, o seu cadrado deixaría resto 1 ao ser divido entre 4, co cal c² deixaría resto 2 ao ser dividido entre 4, polo que c² sería un cadrado perfecto par e non divisible entre 4, o que é absurdo). Supoñamos que a é impar e b par. Reescribimos a ecuación como $\small{b^2=c^2-a^2=(c+a)(c-a)}$Como b, c+a e c-a son pares, podemos dividir os dous membros entre 2 sen saír dos naturais:$$\small{\left(\frac{b}{2}\right)^2=\frac{c+a}{2} \cdot \frac{c-a}{2} }$$Agora chega o paso crucial, que ao ser copiado tantos pseudo-descubrimentos provocou no estudo do Derradeiro Teorema de Fermat:
Como $\small{\frac{c+a}{2}}$ e $\small{\frac{c-a}{2}}$ son números coprimos e o seu produto é un cadrado perfecto, cada un deles ten que ser un cadrado á súa vez. Chamémoslles u e v, de tal xeito que:
$$\small{\frac{c+a}{2}=u^2, \frac{c-a}{2}=v^2}\Longrightarrow c=u^2+v^2, a=u^2-v^2, b=2uv$$Chegando á expresión xeral para as ternas primitivas $(a,b,c)=(u^2-v^2, 2uv, u^2+v^2)$Onde hai que salientar que u e v son coprimos e teñen paridade oposta para sermos coherentes co carácter primitivo da terna (a,b,c).
Por exemplo, a terna (3,4,5) correspóndese nesta parametrización cos valores u=2, v=1; (5,12,13) con u=3,v=2; (21,20,29) con u=5, v=2; (33,56,65) con u=7, v=4...
Hai outra aproximación á solución que utiliza a parametrización de curvas, mais require algo máis de traballo. Así que vaiamos por fin á alucinante relación entre as matrices e as ternas pitagóricas:
No devandito artigo aparece un procedemento aparentemente standard que eu nunca vira. Como quedei pampo quería compartilo neste faiado que manteño na rede:
Se definimos as matrices $$\small{M_1=\left( \begin{array}{ccc}1&-2&2\\ 2&-1&2\\2&-2&3 \end{array}\right),M_2=\left( \begin{array}{ccc}1&2&2\\ 2&1&2\\ 2&2&3 \end{array}\right),M_3=\left( \begin{array}{ccc} -1&2&2\\ -2&1&2\\ -2&2&3 \end{array}\right)}$$
resulta que podemos obter todas as ternas primitivas a partir soamente da primeira, (3,4,5)! Este feito é o que me deixou abraiado. A técnica concreta é xa, na miña opinión, case menos importante:
Dada calquera terna primitiva (a,b,c) existe un número r natural tal que: $$ \left( \begin{array}{ccc} a \\ b \\ c \\ \end{array}\right)=M_{\sigma(1)}M_{\sigma(2)} \dots M_{\sigma(r)}\left( \begin{array}{ccc} 3 \\ 4 \\ 5 \\ \end{array}\right)$$ onde $\small{(\sigma(1),\sigma(2),\dots \sigma(r))\in\{1,2,3\}^r}$Aínda máis: a representación da terna (a,b,c) é única, e calquera representación dá lugar a outra terna primitiva. En realidade as matrices poden ser utilizadas para conectar dúas ternas primitivas ao chou, sen pasarmos pola (3,4,5)Para ver uns exemplos, a terna (5,12,13) que mencionei máis arriba aparece cando collemos só a matriz $\small{M_1} $, a (21,20,29) collendo $\small{M_2 }$...
Como era de supoñer, a wikipedia ten un artigo no que podemos ler sobre esta representación matricial. Nel atoparemos a árbore das ternas pitagóricas primitivas. Unha estrutura ben elegante:

Se coñecesemos ben a relación entre as ternas primitivas e os números primos que forman
os parámetros u e v, quizais poderíamos coñecer algo máis dos fuxidíos primos.Xa está ben de tantas Matemáticas por hoxe. Prometo que o vindeiro post será máis leve...





Categorías: Mundo Matemático

As capas da Atmosfera

Ciencia no Camiño - Dom, 2013-11-24 21:40
1º da ESO
O salto de Félix Baumgartner desde unha altura de 39 km. dá para moitas clases de ciencias e, nomeadamente, para estudar como varían as propiedades da atmosfera ascendendo ou descendendo por ela e, tamén, para facer un clase divertida.
Lembramos o artigo escrito o ano anterior por Bibiana e Laura e tiramos novas conclusións sobre o comportamento desa masa de gases na que vivimos mergulllados.
Achegamos o debuxo feito por Candela coas capas da atmosfera, aínda que somos conscientes que o paso da estratosfera a mesosfera non é tan abrupta senón que a presenza de gases que tinguen de azul o ceo baixa de maneira progresiva.
Debuxo de Candela López

Categorías: Mundo Matemático
Distribuir contido